他的指尖在草稿纸上快速演算起来，试图找到与哥德巴赫猜想適配的工具，寻找突破的可能。

    

    现有的方法，无论是筛法还是圆法，都是从不同角度去逼近这个问题。

    

    筛法像是用一张网去捞素数，圆法则像是用傅立叶分析去探测素数的分布频率。

    

    但这两个工具都有一个共同的局限：它们都是在“外部”观察素数，而不是从素数集合本身的“內部结构”出发。

    

    肖宿忽然想起自己之前研究辛几何时的一个想法。

    

    在辛几何里，研究一个流形的性质，最直接的方法是研究它上面的函数空间。

    

    那些函数在流形上的取值、变化、临界点，能告诉你这个流形长什么样。

    

    如果把素数集合看作一个离散的“流形”呢

    

    在这个流形上，可以定义一类特殊的函数，比如，把每个偶数n映射成它能够分解成的素数对数目。

    

    这个函数的值，就是哥德巴赫猜想关心的东西。

    

    这个函数在整数轴上的分布，会不会有什么不变的结构

    

    肖宿重新坐直，打开一个新的文档，开始写下几行字：

    

    “设p为素数集合。对任意偶数n，定义g = #{ ∈ pxp : p+q=n}，即n的哥德巴赫分解数目。”

    

    “问题是：g是否恆大於0”

    

    写完之后，他盯著这几行字看了一会儿。

    

    这是一个古老的问题，但他想换一个全新的角度去看它。

    

    如果从傅立叶分析的视角，g可以看作是两个素数集合的卷积。

    

    也就是说，如果把素数集合表示成一个特徵函数，每个整数如果是素数就取1，不是就取0，那么g就是这个特徵函数与它自身的卷积。

    

    卷积在傅立叶域里会变成乘法。

    

    也就是说，g的傅立叶变换，等於素数特徵函数的傅立叶变换的平方。

    

    所以，如果能搞清楚素数特徵函数的傅立叶变换，就能搞清楚g的分布。

    

    这是一个经典的圆法思路。

    

    哈代和李特尔伍德在上个世纪初就用这个方法得到了一个渐近公式：

    

    g ≈ 某个常数 x n/2 x 一个与n的奇因子有关的修正因子。

    

    但这个公式只是渐近的，不是严格的。

    

    问题出在哪里呢

    

    “圆法给出的是主项的估计，但余项的控制一直无法做到足够小，根本原因在於，素数集合的傅立叶变换有太多的振盪，难以精確估计。”

    

    但如果换一个视角呢

    

    不是从傅立叶域，而是从谱域出发呢

    

    这是他最近在研究ns方程时想到的东西。

    

    在量子力学里，一个系统的能级分布，可以用谱理论来描述。

    

    每个能级对应一个特徵值，这些特徵值的分布遵循某种规律。

    

    如果把素数看作某个算子的特徵值呢

    

    这个想法听起来有点疯狂，但数学史上不乏这样的先例。

    

    黎曼猜想本质上就是在研究一个函数，黎曼ζ函数的零点分布。

    

    那些零点，就可以看作某个算子的谱。

    

    肖宿忽然想起去年在普林斯顿的时候，德利涅提过一句：有些数论问题，用代数几何的方法会看得更清楚。

    

    代数几何研究的是多项式方程的解集。

    

    如果把素数看作某些多项式方程的解，那哥德巴赫猜想就变成了关於这些解集的加法性质的问题。

    

    他继续往下写：

    

    “设v_p = {x ∈ z : x ≡ 0 od p}，这是p的倍数集合。素数p本身，可以看作是这个集合的生成元。”

    

    “对任意偶数n，考虑所有满足p ≤ n的素数p。每个p对应一个集合v_p。n能被写成两个素数之和，若且唯若存在p, q使得n ∈ v_p + v_q。”

    

    这个视角把问题从“找素数”变成了“找集合之间的加法关係”。

    

    肖宿盯著这个表述，脑子里忽然闪过一个念头。

    

    在辛几何里，“拉格朗日子流形”可以用弗洛尔同调来描述。

    

    如果把这里的v_p看作某种离散版本的“子流形”，那么n ∈ v_p + v_q这件事，是不是也可以看作某种“相交”

    

    如果是这样，那g的值，也许就和某种相交数有关。

    

    而相交数，在合適的条件下，是拓扑不变量，也就是说，不管你怎么扰动，只要扰动的方式合適，这个数就不变。

    

    肖宿的心跳快了一拍。

    

    如果哥德巴赫猜想的本质是一个拓扑不变量的问题，那么它的证明，就不需要精確控制每个细节，只需要证明那个不变量不为零。

    

    他深吸一口气，继续往下推：

    

    “设x为所有素数构成的集合。考虑x的某种紧化或完备化，使其成为一个拓扑空间。

    

    在这个空间上，定义一种加法结构，使得每个偶数n对应一个特定的子空间。

    

    那么，哥德巴赫猜想成立，若且唯若这个子空间与x+x相交非空。”

    

    “如果能证明这个相交数在某种意义下是稳定的，並且对於n=4（4=2+2）已知相交数非零，那么由稳定性，对所有更大的n，相交数也非零。”

    

    这个思路听起来很抽象，但数学上並非不可能。

    

    肖宿想起自己之前研究过的顾辛流型。

    

    那种流型的一个关键性质，就是它的弗洛尔同调在哈密顿扰动下保持不变。

    

    如果能构造一个合適的流型，使得素数集合对应於它的某个拉格朗日子流形，那么哥德巴赫猜想就变成了一个几何定理。

    

    沿著这条路，肖宿继续向前探索。

    

    他先从最基础的地方开始，重新梳理了筛法和圆法的理论框架。

    

    筛法的核心思想，是用一个“筛子”去过滤掉那些不想要的数。

    

    比如要研究素数，就先列出所有整数，然后筛掉所有2的倍数、3的倍数、5的倍数……剩下的就是素数。

    

    但筛法有个问题：筛子太密的时候，误差项会失控。

    

    肖宿想了一个办法，既然不能一次筛到底，那就分层筛。

    

    他把筛的过程拆成了好几层，每一层只负责筛掉一部分合数，同时保留足够的结构信息，最后再把各层的结果用一种巧妙的方式叠加起来。

    

    这个思路来源於他去年处理加权度量构造时的经验。

    

    当时他在研究有理双曲奇点邻近的度量问题时，面对的是一个非常类似的困境：

    

    直接在奇点上做计算会发散，但如果把奇点周围的空间分层展开，一层一层地逼近，最后再取极限，就能得到一个收敛得非常好的结果。

    

    把连续空间的技巧移植到离散的整数集合上，这件事说起来简单，做起来却难如登天。

    

    但肖宿最不怕的就是鸿沟，只是短暂思考了一段时间，他就开始了对这个方法的构造。

    

    他做的第一步是下定义，也就是分清楚什么是层。

    

    他先把从2到n的所有整数，按照它们的最小素因子的大小，分成了若干个层次。

    

    第一层是最小素因子小於n{1/k}的那些合数，第二层是最小素因子在n{1/k}到n{2/k}之间的，以此类推，一直到最后一层，剩下的全是素数。

    

    这个分层方式的好处是，每一层內部的数在某种意义下是“均匀”的，筛起来误差项的增长速度会慢很多。

    

    坏处是，层的数量k本身就是一个需要精心选择的参数。

    

    k太小，层数不够，误差项还是会堆积；k太大，层数太多，每一层的计算复杂度会爆炸。

    

    肖宿花了一个星期的时间，反覆调整这个参数，最终找到了一个微妙的平衡点。

    

    这个平衡点不是一个固定的数字，而是一个依赖於n的函数，当n变化的时候，最优的层数也会跟著变化。

    

    他把这个函数写成了一组递推关係式，密密麻麻地占据了草稿纸的整整五页。

    

    然后第二步就是赋予权重。

    

    分层之后，每一层筛出来的数，是不能直接相加的。

    

    因为不同层的数在最终的计数中贡献的“分量”是不一样的，如果简单粗暴地加起来，就会像把不同面额的硬幣混在一起数，数出来的总数毫无意义。

    

    肖宿需要给每一层赋一个权重。

    

    这个权重要能够精確地反映该层中的数在哥德巴赫分解中的“重要性”。

    

    换句话说，如果一个数更容易作为大偶数的素数加项出现，那么它的权重就应该比其他数更高。

    

    这个想法本身並不新鲜。

    

    陈景润的“1+2”证明里就用过加权筛法，只不过他用的权重函数和肖宿构造的这个完全是两个维度的东西。

    

    陈景润的权重是一个相对简单的、静態的函数，而肖宿需要的权重必须是一个动態的、隨层次变化而变化的算子。

    

    他把这个算子命名为“分层权函数”，用希腊字母w加上下標来表示。

    

    w_1是第一层的权函数，w_2是第二层的，以此类推。

    

    每一个w_i都是一个从整数集合到[0,1]区间的映射，满足一组极其复杂的相容性条件。

    

    而推导这组相容性条件又花了他四天时间。

    

    当最后一个不等號在草稿纸上落定，他终於长舒一口气。

    

    他给这种方法起了个名字：分层筛法。